La dificultad con la que se encontraron los geómetras griegos para determinar el área del círculo les planteó la duda de si podrían expresar con números racionales las áreas de figuras de contorno curvilíneos, lo que les llevó a pensar que para figuras geométricas como el círculo sería necesario indicar un determinado valor aproximado.

   Esta idea se vio que era falsa gracias a Hipócrates que, al demostrar la equivalencia entre una lúnula y un triángulo rectángulo, había logrado había logrado expresar con un exacto número el valor de una figura curvilínea.

  El infinito es un concepto abstracto que se tiene que formar en nuestra con una construcción del pensamiento. En el lenguaje común la idea de infinito nace de la imposibilidad concreta de contar.

FUENTE ENTESPA

El descubrimiento de la magnitud inconmensurable constituye una etapa fundamental en la historia de las matemáticas. La concepción pitagórica según la cual cualquier magnitud podía ser representada por un número, había conducido a los matemáticos a interpretar un segmento como constituido por números finito de puntos, imaginándolo formado por “tantos puntos” , pequeñísimos granos dispuestos uno después del otro como minúsculas perlas enfiladas. Sin plantearse el problema “cuántos” puntos de estos había, los pitagóricos estaban convencidos de que dos segmentos de igual longitud contenían el mismo número de puntos, mientras que en caso de segmentos diferentes tenía un mayor número de puntos que el otro.

    Como ya hemos dicho, de esta concepción granular del punto deriva el convencimiento de que dos segmentos son siempre conmensurables. Al intentar aplicar este concepto de conmensurabilidad al lado y a la diagonal del cuadrado, este mismo convencimiento acabó siendo clamorosamente destruido. Con éste cayó la idea de representar siempre un segmento con un número finito y con ello la idea de que un segmento mayor pueda tener más punto que uno menor.

   El derrumbe de esta última cuestión puede por contraste llevar a una conclusión que en apariencia,  puede ser paradójica: dos segmentos de diferente longitud tienen el mismo número de puntos.

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