La dificultad con la que se encontraron los geómetras griegos para determinar el área del círculo les planteó la duda de si podrían expresar con números racionales las áreas de figuras de contorno curvilíneos, lo que les llevó a pensar que para figuras geométricas como el círculo sería necesario indicar un determinado valor aproximado.

   Esta idea se vio que era falsa gracias a Hipócrates que, al demostrar la equivalencia entre una lúnula y un triángulo rectángulo, había logrado había logrado expresar con un exacto número el valor de una figura curvilínea.

  El infinito es un concepto abstracto que se tiene que formar en nuestra con una construcción del pensamiento. En el lenguaje común la idea de infinito nace de la imposibilidad concreta de contar.

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El descubrimiento de la magnitud inconmensurable constituye una etapa fundamental en la historia de las matemáticas. La concepción pitagórica según la cual cualquier magnitud podía ser representada por un número, había conducido a los matemáticos a interpretar un segmento como constituido por números finito de puntos, imaginándolo formado por “tantos puntos” , pequeñísimos granos dispuestos uno después del otro como minúsculas perlas enfiladas. Sin plantearse el problema “cuántos” puntos de estos había, los pitagóricos estaban convencidos de que dos segmentos de igual longitud contenían el mismo número de puntos, mientras que en caso de segmentos diferentes tenía un mayor número de puntos que el otro.

    Como ya hemos dicho, de esta concepción granular del punto deriva el convencimiento de que dos segmentos son siempre conmensurables. Al intentar aplicar este concepto de conmensurabilidad al lado y a la diagonal del cuadrado, este mismo convencimiento acabó siendo clamorosamente destruido. Con éste cayó la idea de representar siempre un segmento con un número finito y con ello la idea de que un segmento mayor pueda tener más punto que uno menor.

   El derrumbe de esta última cuestión puede por contraste llevar a una conclusión que en apariencia,  puede ser paradójica: dos segmentos de diferente longitud tienen el mismo número de puntos.

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La zona comprendida entre el mar y la tierra (zona inter mareal) es un hábitat que, por su posición, y por sus mutables características, se considera un difícil mundo. A los inquilinos de la franja costeras (adaptados al constante flujo y reflujo), y a los inquilinos periódicos (como algunos moluscos y peces que se dejan arrastrar allí por el avance de las mareas), se añaden las aves y los mamíferos habitantes típicos de la tierra firme: los corre limos, las golondrinas de mar y las ubicuas gaviotas entre las primeras mapaches, mofetas( ambos entre las costas americanas) y ratas entre los segundos, recorren la costa durante el día y durante la noche y sustraen alimentos a los detritos del mar.

  Los mamíferos pinnípedos (focas, leonesy osos marinos, etc.), viven gran parte de su vida en este ambiente si bien se desplazan a tierra para reproducirse.

  Entre los animales costeros figuran los cocodrilos de estuario que frecuentan las cálidas costas tropicales; las tortugas del mar que acuden a la playa para poner sus huevos; la rica fauna, relativamente numerosas de ágiles y pequeños insectos (mosquitos, moscas, tijeras y escarabajos) que en la costa próximo a las salpicaduras saladas, han escogido un excelente modo de vida.

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Los lamelibranquios la clase más numerosa de los moluscos después de las de los gasterópodos, comprenden una 20,000 especies vivas y otras tantas extinguidas. Animales acuáticos predominantemente marinos, tienen la cabeza muy reducida y un doble repliegue del manto, de tal forma que su concha está formada por dos valvas, una derecha y tora izquierda.  Las valvas presentan estriaciones denominadas de “de crecimiento”, dispuestas en torno a un punto dorsal denominado umbo, que corresponde a la inicial zona de desarrollo de la concha. Las valvas están unidas entre sí mediante una charnela cuyos lados presentan denticulaciones y depresiones que encajan unas con toras. El cierre de las valvas se debe a la acción de robustos moluscos transversales, mientras que la abertura se debe a un fenómeno pasivo de retracción de un ligamento elástico.  Cuando el animal muere los moluscos se relajan y las valvas permanecen abiertas.

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  Los testimonios más antiguos a caballo entre la historia y la leyenda, y que e remontan al 2,300 A.C., sitúan en la isla de Creta el florecimiento de una de las civilizaciones más fascinantes, tanto por su arte como por su cultura, de toda la antigüedad. Situados en una posición estratégica, los cretenses fueron los auténticos amos del comercio marítimo por lo que es razonable pensar que los primeros contactos de otros pueblos de la cuenca mediterránea (egipcios, sirios, fenicios) lo empezaron a tener ya en aquella época. Los escribas egipcios que anotaban escrupulosamente en sus tablillas todas las operaciones comerciales, recogieron testimonios e informaciones valiosas sobre la civilización cretense, al menos hasta la invasión de Egipto por parte de los hicsos.

 En el siglo XI empezó el fenómeno de colonización griega; en la costa septentrional de Asia Menor en la parte central eólica, en la parte central la jónica con ciudades como Esmirna, Éfeso, Mileto, destinadas a convertirse en centros culturales de gran prestigio. Más tarde surgieron otras colonias en Italia meridional y en Sicilia, fenómeno que se amplió VIII y VII A.C., coincidiendo con la decadencia del poder político-cultural de los egipcios, asirios y fenicios.

   El desarrollo de la civilización griega, enriquecida por la valiosa experiencia de los pueblos egipcios y mesopotámicos, representa un giro importante en la historia de la conquista del conocimiento, y en particular, en la historia de las matemáticas.

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La aparición del automóvil incrementó enormemente la circulación por carretera y agudizó un antiguo problema: el de la relativamente escasa solidez de los firmes y, sobre todo, el paso de los motorizados vehículos, cuyo tránsito provocaba la formación de remolinos sobre el firme que aspiraban el polvo depositado en los intersticios, deteriorando enormemente las carreteras macadamizadas. La necesidad de recubrir la superficie de estas carreteras y comunicarle más solidez llevó a la difusión de dos técnicas ya existentes, pero que no habían alcanzado todavía mucho éxito: el firme de hormigón y el asfaltado.

    La carretera de argamasa y hormigón-conglomerados formados con arena, agua y un aglutinante hidráulico como cal o cemento- se había ya experimentado en los tiempos de los romanos, y en la primera mitad del SIGLO XIX se reintrodujo el uso de estos materiales. En Austria, Escocia y Estados Unidos se construyeron carreteras de hormigón. En ese período empezó a utilizarse el asfalto-un material que se encuentra en la naturaleza y puede trabajarse de diversas maneras- para recubrir calzadas macadamizadas y pavimentadas, obteniendo en algunos casos, inmejorables resultados.

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  Los romanos dieron muestra de una extraordinaria habilidad como constructores de carreteras. La vasta red viaria que llegaron a establecer se inauguró en el SIGLO IV A.C., con la vía Apia llamada Regina viarum (reina de las carreteras). De longitud próxima a los 260 km, que enlaza Roma con el centro militar de Capua.

  Después se construyó la vía Flaminia, que iba a Roma  a la llanura Padana, y otras muchas vías, tanto en la península italiana como en Sicilia. A continuación se construyeron también vías de tránsito en Dalmacia, en Asia Menor, en la Francia, la Inglaterra y la Alemania actuales y en el norte de África hasta entonces los trazados de las vías se habían amoldado a las características y a la forma del terreno, evitando las zonas dificultosas e inaccesibles, por lo que resulta a veces, muy largos. Los romanos en cambio trataron de acortarlos cuando les fue posible, construyendo carreteras en terrenos en pendiente y levantando sólidas obras de contención  en los más difíciles tramos.

   El estudio de los restos arqueológicos y la lectura de las descripciones que han dejado los historiadores han permitido conocer las técnicas utilizadas por los romanos en la construcción de carreteras. Empezaban por cavar profundas zanjas que constituían el trazado de la carretera, extrayendo ingentes cantidades de tierra.

  Cuando el foso abierto, estaba a punto, se rellenaba con distintos materiales (arena y detritos, piedra picada, guijarros), preparando así la base la que asentar la superficie de la carretera. Esta última podía estar construida sobre distintos materiales.

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Entre 1939 y 1942, John Atanasoff, de la Universidad de Iowa, concibió, y en parte realizó, la primera unidad de procesado construida enteramente por componentes electrónicos (válvulas de vacío) en lugar de relés. Otra característica fundamental de la máquina de Atanasoff era la representación binaria de los números cuya memorización podía obtenerse cargando positiva o negativamente cerca de 1,600 condensadores dispuestos a lo largo de un tambor.

  Los trabajos de Atanasoff fueron interrumpidos  por la entrada en guerra de Estados Unidos y ya no sea reanudaron. Esto contribuyó a privar a Atanasoff del debido reconocimiento como padre del calculador electrónico. Sus méritos no fueron reconocidos hasta los años setenta, cuando una sentencia legal declaró que el ENIAC, considerado hasta entonces como el primer calculador jamás construido, derivaba de sus trabajos.

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    Desde el punto de vista experimental y práctico la historia del moderno ordenador empieza a finales de los años treinta, a cargo de cuatro investigadores que llegaron a sus resultados de manera independiente: los estadounidenses Aiken, Atanaoff y Stibitz y el alemán Zuse.

  Konrad Zuse, del Politécnico de Berlín, fue a partir de 1934, el primero en utilizar relés electromecánico en la realización de máquinas de cálculo. En 1941 construyó, en le salón de su casa, tres máquinas que llamó Z1, Z2 y Z3, la última de las cuales podía utilizar números en coma flotante y de veintidós bits (14 para la mantisa, siete para el exponente y uno para el signo). Sin embargo sus escasos trabajos tuvieron escasa difusión internacional.

George Stibitz, de los Bell Laboratories, introdujo a partir de 1937 la representación de cifras decimales mediante la codificación binaria y aplicó este concepto a una máquina de relés en 1939. Esta máquina estaba controlada a distancia con un teletipo, pero no era programable. Estas últimas características se introdujeron en los modelos perfeccionados que se desarrollaron sucesivamente a partir del modelo original.

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